CORSO SUL MODELLO COSMOLOGICO STANDARD: 1 Introduzione al Modello Cosmologico Standard (MCS)

Introduzione al Modello Cosmologico Standard
(MCS / ΛCDM)

Una presentazione rigorosa di concetti, equazioni e osservabili chiave dell’attuale quadro cosmologico. Espansione cosmica CMB materia oscura energia oscura equazioni di Friedmann

1 — Visione d’insieme: che cos’è il MCS

Il Modello Cosmologico Standard (MCS), spesso indicato come ΛCDM, descrive l’Universo su larga scala come uno spazio-tempo omogeneo e isotropo a livello statistico, la cui dinamica di espansione è governata dalla relatività generale. La nozione cardine è l’espansione dello spazio: non sono le galassie ad “attraversare” uno spazio fisso, ma è la metrica stessa che si dilata nel tempo cosmico. La storia dell’Universo è dunque tracciata dall’evoluzione del fattore di scala \(a(t)\), che determina le distanze cosmologiche e la relazione con il redshift, \[ 1+z \;=\; \frac{a_0}{a(t)} \quad (\text{con } a_0\equiv 1 \text{ oggi}). \]

Pilastro osservativo del MCS è la radiazione cosmica di fondo (CMB), una radiazione quasi perfettamente di corpo nero che proviene dall’epoca del disaccoppiamento (redshift \(z\simeq 10^3\)). Le sue anisotropie di temperatura e polarizzazione conservano un’impronta delle condizioni iniziali e dei parametri cosmologici, offrendo una verifica precisa delle previsioni del modello (curvatura quasi nulla, contenuti di materia e barioni, spettro di perturbazioni).

Un secondo asse concettuale è la materia oscura non barionica, postulata per spiegare la dinamica di galassie e ammassi, il lensing gravitazionale e la crescita delle strutture su grande scala. Pur interagendo debolmente (se non solo gravitazionalmente) con la radiazione elettromagnetica, essa domina la massa della materia totale e fornisce il “potenziale” in cui la materia barionica collassa.

Infine, le fondamenta teoriche del MCS sono sintetizzate nelle equazioni di Friedmann, derivate dalla relatività generale assumendo simmetrie cosmologiche (metrica di Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker, FLRW). Esse collegano la geometria dello spazio-tempo (curvatura) al contenuto energetico (radiazione, materia, energia oscura), fornendo il quadro quantitativo per l’espansione cosmica e l’interpretazione dei dati osservativi.

Metrica FLRW. Con omogeneità e isotropia, la metrica è \[ ds^2 \;=\; -c^2\,dt^2 \;+\; a(t)^2\!\left[\frac{dr^2}{1-kr^2} + r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2)\right], \] dove \(k\in\{-1,0,+1\}\) codifica la curvatura spaziale (iperbolica, piatta, sferica).

2 — Formulazione matematica: Einstein, Λ e componenti cosmiche

Il punto di partenza è la relatività generale, con le equazioni di campo di Einstein (unità esplicite): \[ G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} \;=\; \frac{8\pi G}{c^4}\,T_{\mu\nu}, \] dove \(G_{\mu\nu}\) è il tensore di Einstein (curvatura), \(T_{\mu\nu}\) è il tensore energia–impulso della materia/energia e \(\Lambda\) è la costante cosmologica. Assumendo un fluido perfetto omogeneo con densità \(\rho\) e pressione \(p\), l’insieme si riduce alle equazioni di Friedmann:

\[ H^2 \;\equiv\; \left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 \;=\; \frac{8\pi G}{3}\,\rho \;-\; \frac{kc^2}{a^2} \;+\; \frac{\Lambda c^2}{3}, \] \[ \frac{\ddot a}{a} \;=\; -\,\frac{4\pi G}{3}\!\left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right) \;+\; \frac{\Lambda c^2}{3}, \] \[ \dot\rho + 3H\!\left(\rho + \frac{p}{c^2}\right) \;=\; 0 \quad (\text{conservazione}). \]

La quantità \(H(t)\) è il parametro di Hubble; il termine in \(\Lambda\) agisce come pressione negativa costante.

La costante cosmologica introduce una componente con equazione di stato \(w\equiv p/(\rho c^2)=-1\), responsabile — nel quadro ΛCDM — dell’accelerazione attuale dell’espansione (quando \(\Lambda\) domina sul termine di materia). In generale, per un fluido con \(w\) costante, la densità scala come \[ \rho(a) \;\propto\; a^{-3(1+w)} \quad \Rightarrow \quad \rho_r\propto a^{-4}\,(w=\tfrac{1}{3}),\;\; \rho_m\propto a^{-3}\,(w=0),\;\; \rho_\Lambda=\text{costante}\,(w=-1). \]

Densità critica e parametri adimensionali. Si definisce la densità critica \[ \rho_c(t) \;=\; \frac{3H(t)^2}{8\pi G}, \] e le frazioni di densità \(\Omega_i(t)\equiv \rho_i(t)/\rho_c(t)\) (per radiazione \(r\), materia totale \(m\), barioni \(b\), materia oscura fredda cdm, energia oscura \(\Lambda\), curvatura \(k\)). Oggi: \[ \Omega_{k0} \;=\; 1 - \Omega_{r0} - \Omega_{m0} - \Omega_{\Lambda0}. \] L’andamento con il redshift è \[ H(z) \;=\; H_0\;\sqrt{\Omega_{r0}(1+z)^4+\Omega_{m0}(1+z)^3+\Omega_{k0}(1+z)^2+\Omega_{\Lambda0}}. \]

La decelerazione è misurata da \[ q(t) \;\equiv\; -\frac{\ddot a\,a}{\dot a^{\,2}} \quad\Rightarrow\quad q_0 \;=\; \tfrac{1}{2}\Omega_{m0}+\Omega_{r0}-\Omega_{\Lambda0} \quad (\text{per } w_\Lambda=-1). \] Un valore \(q_0<0\) indica espansione accelerata. L’energia oscura è quindi cruciale nel bilancio energetico cosmico.

Osservabili chiave e ruolo delle componenti

La cinematica dell’espansione si traduce in distanze misurabili. La distanza comovente a un redshift \(z\) è \[ \chi(z) \;=\; c\int_0^{z}\frac{dz'}{H(z')}, \] da cui si ottengono la distanza di luminosità \(D_L=(1+z)\,S_k(\chi)\) e la distanza angolare \(D_A=S_k(\chi)/(1+z)\), con \[ S_k(\chi) \;=\; \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{K}}\sin\!\left(\sqrt{K}\,\chi\right), & k=+1\\[4pt] \chi, & k=0\\[4pt] \frac{1}{\sqrt{|K|}}\sinh\!\left(\sqrt{|K|}\,\chi\right), & k=-1 \end{cases} \quad (K\equiv |k|/R_0^2). \] Le curve Hubble di supernovae di tipo Ia, insieme a BAO e CMB, vincolano \(H(z)\) e i parametri \(\Omega\).

Radiazione cosmica di fondo (CMB). Le anisotropie angolari riflettono le oscillazioni acustiche del plasma primordiale. Le posizioni dei picchi e la loro ampiezza informano su curvatura, densità barionica, materia totale e ampiezza delle perturbazioni primordiali. La quasi piattezza dello spettro a grandi angoli è compatibile con perturbazioni gaussiane adiabatiche quasi invariante di scala.

Materia oscura. Evidenze indipendenti provengono da curve di rotazione galattiche, dinamica degli ammassi, lenti gravitazionali (forti e deboli), CMB e formazione delle strutture. Nel MCS la materia oscura è “fredda” (CDM), dominando la crescita lineare delle perturbazioni con equazione di crescita (regime newtoniano) \[ \ddot\delta + 2H\dot\delta - 4\pi G\rho_m\,\delta \;=\; 0, \] dove \(\delta\equiv\delta\rho/\rho\). Nella fase dominata dalla materia, \(\delta\propto a\) in buona approssimazione.

Energia oscura e Λ. Nel quadro più semplice \(w=-1\) (Λ). Sono studiati estensioni dinamiche con \(w\neq -1\) o \(w(z)\), ma Λ rimane il modello parsimonioso compatibile con molti dati. Il “problema della costante cosmologica” (discrepanza tra valore osservato ed aspettative di vuoto quantistico) resta una delle grandi questioni teoriche aperte.

Appendice tecnica — Formule e relazioni utili

• Relazione redshift–scala: \(1+z=1/a\), con \(a_0=1\).
• Equazioni di Friedmann: \(\displaystyle H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho-\frac{kc^2}{a^2}+\frac{\Lambda c^2}{3}\),\; \(\displaystyle \frac{\ddot a}{a}=-\frac{4\pi G}{3}\!\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right)+\frac{\Lambda c^2}{3}\).
• Scalamento con \(w\): \(\rho(a)\propto a^{-3(1+w)}\).
• H(z): \(\displaystyle H(z)=H_0\sqrt{\Omega_{r0}(1+z)^4+\Omega_{m0}(1+z)^3+\Omega_{k0}(1+z)^2+\Omega_{\Lambda0}}\).
• Decelerazione oggi: \(\displaystyle q_0=\tfrac{1}{2}\Omega_{m0}+\Omega_{r0}-\Omega_{\Lambda0}\) (per \(w_\Lambda=-1\)).
• Distanze: \(\displaystyle \chi(z)=c\int_0^{z}\! \frac{dz'}{H(z')}\),\; \(D_L=(1+z)\,S_k(\chi)\),\; \(D_A=S_k(\chi)/(1+z)\).

Conclusione

Il MCS fornisce una cornice quantitativa coerente che lega geometria e contenuto energetico dell’Universo, spiegando espansione, CMB e formazione delle strutture in termini di poche componenti fisiche. Le equazioni di Friedmann, derivate dalla relatività generale, sono il cuore matematico che traduce ipotesi simmetriche in previsioni osservabili; materia oscura ed energia oscura ne completano il quadro fenomenologico attuale. Le sfide aperte (natura microscopica delle componenti oscure, tensioni sui parametri) motivano estensioni e test sempre più fini.