CORSO SULLA RELATIVITÀ: 9 Il GPS e la relatività

Il GPS e la relatività

Quando sentiamo parlare della teoria della relatività di Einstein, spesso ci viene in mente qualcosa di astratto, complicato e lontano dalla vita quotidiana. In realtà, questa teoria ha un impatto diretto su tecnologie che usiamo ogni giorno, e il GPS è forse l’esempio più famoso. Ma prima di entrare nei dettagli, ricordiamo che la relatività riguarda il modo in cui il tempo e lo spazio si comportano quando ci si muove molto velocemente o ci si trova in un campo gravitazionale intenso.

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Il GPS (Global Positioning System) e la relatività

Il Global Positioning System (GPS) è un sistema di satelliti che permette di determinare la posizione di un ricevitore sulla Terra con una precisione sorprendente, spesso entro pochi metri. Per ottenere questa precisione, gli scienziati hanno dovuto tenere in conto due effetti relativistici fondamentali:

1. Dilatazione temporale dovuta al movimento (relatività ristretta)
   I satelliti GPS orbitano intorno alla Terra a velocità molto elevate, circa 14.000 km/h. Secondo la teoria della relatività ristretta di Einstein, quando un orologio si muove a velocità così elevate rispetto a un osservatore a terra, il tempo “scorre più lentamente” per quell’orologio. In altre parole, senza correzioni, gli orologi dei satelliti e quelli sulla Terra non segnerebbero lo stesso tempo.

2. Dilatazione gravitazionale (relatività generale)
   I satelliti non sono solo in movimento, ma si trovano anche lontano dalla superficie terrestre, dove la gravità è più debole. La relatività generale ci dice che in un campo gravitazionale più debole il tempo scorre più velocemente rispetto a un punto più vicino a un corpo massiccio, come la Terra. Questo significa che il tempo sui satelliti avanza leggermente più veloce rispetto a quello a terra.

Senza tenere conto di questi due effetti combinati, le informazioni di posizione fornite dal GPS divergerebbero rapidamente: si stima che senza correzioni, in un solo giorno gli errori arriverebbero a circa 10 km! Per questo motivo, gli ingegneri applicano delle correzioni relativistiche agli orologi dei satelliti, garantendo che il GPS funzioni con la precisione che tutti diamo ormai per scontata.

Il funzionamento accurato del GPS dipende dalla teoria della relatività. Il GPS utilizza satelliti in orbita intorno alla Terra per determinare la posizione esatta di un ricevitore sulla superficie terrestre. Gli orologi atomici a bordo dei satelliti GPS sono in continuo movimento e soggetti a accelerazioni gravitazionali diverse rispetto a quelli sulla Terra. Qui entrano in gioco due effetti relativistici principali:

a) Dilatazione Temporale

A causa della velocità orbitale dei satelliti, significativa rispetto alla superficie terrestre, si verifica un effetto di dilatazione temporale previsto dalla relatività ristretta. Questo comporta che gli orologi dei satelliti si muovano leggermente più lentamente rispetto agli orologi sulla Terra. La formula è:

Δt' = Δt √(1 - v²/c²)

• Δt = tempo sulla Terra
• Δt' = tempo misurato dal satellite
• v = velocità del satellite (≈ 3,87 km/s)
• c = velocità della luce (≈ 3 × 10⁸ m/s)

Calcolando, si ottiene un rallentamento di circa 7,2 microsecondi al giorno.

b) Dilatazione Gravitazionale

La gravità più debole sui satelliti in orbita rispetto a quella sulla Terra provoca un’altra differenza nella misurazione del tempo secondo la relatività generale:

Δf / f ≈ (GM / c²) (1/R_T - 1/(R_T + h))

• G = 6,674 × 10^-11 N·m²/kg²
• M = 5,972 × 10²⁴ kg (massa della Terra)
• R_T = 6.371 km (raggio della Terra)
• h = 20.200 km (altezza del satellite)

Questo effetto porta a un guadagno di circa 45,9 microsecondi al giorno rispetto a un orologio a Terra.

c) Effetto combinato

Sommando i due effetti relativistici:

• Dilatazione temporale (relatività ristretta): -7,2 μs/giorno
• Dilatazione gravitazionale (relatività generale): +45,9 μs/giorno
• Effetto netto: +38,7 μs/giorno

Ogni giorno, senza correzioni, un orologio GPS avanzerebbe di quasi 39 microsecondi rispetto alla Terra, causando errori di posizione notevoli.

2. Compensazione pratica

Gli ingegneri compensano questo anticipando la frequenza degli orologi dei satelliti prima del lancio. In pratica, la frequenza degli orologi atomici viene leggermente ridotta a Terra, così che una volta in orbita scorra al ritmo corretto per sincronizzarsi perfettamente con gli orologi terrestri. Questa correzione garantisce che il GPS resti preciso, evitando errori di posizione di chilometri in pochi giorni.