CORSO SULLA RELATIVITÀ: Lezione 7 Onde Gravitazionali

Onde gravitazionali:

guida alle increspature dello spaziotempo

Perché le studiamo? Per ascoltare il cosmo dove la luce non basta.

Einstein LIGO & Virgo Buchi neri & stelle di neutroni Chirp, strain, interferometri

Le onde gravitazionali sono minuscole increspature del tessuto dello spazio-tempo che viaggiano alla velocità della luce. Nascono quando masse gigantesche si muovono in modo accelerato: due buchi neri che spiraleggiano, due stelle di neutroni che si fondono, collassi stellari, persino l’eco primordiale del Big Bang. L’idea viene dalla Relatività Generale di Einstein, la cui equazione “madre” è:

\[ G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}\,T_{\mu\nu} \]

In parole semplici: la materia ed energia dicono allo spazio-tempo come curvarsi, e lo spazio-tempo curvo dice alla materia come muoversi. Se la curvatura “vibra”, la vibrazione si propaga come un’onda: ecco le onde gravitazionali.

1) Dal modello alle onde: come si scrive la “vibrazione”

Per onde “deboli” (quelle che arrivano a noi), si approssima la metrica come \( g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu} \) con \( \lvert h_{\mu\nu}\rvert \ll 1 \). In gauge di Lorenz, le perturbazioni obbediscono all’equazione d’onda:

\[ \Box \,\bar h_{\mu\nu} = 0, \qquad \Box = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \nabla^2 \]

In gauge transverse-traceless (TT) una onda che viaggia lungo \(z\) ha due polarizzazioni, più e per:

\[ h_{ij}^{\text{TT}}(t) = \begin{pmatrix} h_+(t) & h_\times(t) & 0\\ h_\times(t) & -h_+(t) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]

Effetto visuale: un anello di “palline” viene stirato in una direzione mentre si accorcia nell’altra (e poi viceversa), come un’onda che “schiaccia” e “stira” lo spazio nelle due direzioni ortogonali.

2) Cosa misuriamo davvero: lo strain \(h\)

Gli interferometri (LIGO, Virgo, KAGRA) misurano la variazione relativa di lunghezza di due bracci perpendicolari:

\[ h \equiv \frac{\Delta L}{L}. \]

Tipicamente \( h \sim 10^{-21} \): in un braccio di \( L = 4\,\text{km} \) la variazione è \( \Delta L \approx 4\times 10^{-18}\,\text{m} \), mille miliardi di volte più piccola di un capello!

Come funziona un interferometro (versione “amica”)

È un Michelson con laser a \( \lambda \approx 1064\,\text{nm} \), specchi super-stabili e cavità Fabry–Perot nei bracci (la luce “rimbalza” molte volte aumentando l’effetto netto). Una variazione di lunghezza produce uno sfasamento \( \Delta\phi \) fra i due bracci:

\[ \Delta \phi = \frac{4\pi}{\lambda}\,\Delta L. \]

Con \( \Delta L \sim 4\times 10^{-18}\,\text{m} \) e \( \lambda=1064\,\text{nm} \), si ottiene \( \Delta\phi \sim 10^{-10}\,\text{rad} \): piccolissimo, ma misurabile grazie a ottica di precisione, isolamento sismico e medie su tempi lunghi.

Perché serve un network

Avere più rivelatori lontani (due LIGO negli USA, Virgo in Italia, KAGRA in Giappone) aiuta a triangolare la sorgente, distinguere polarizzazioni e ridurre i falsi allarmi. Quando i segnali “suonano” in più strumenti con i ritardi giusti, il campanello è credibile.

3) Da dove arrivano: sorgenti e “firma” del segnale

• Sistemi binari compatti (buchi neri, stelle di neutroni): il segnale è un chirp, cioè ampiezza e frequenza che crescono nel tempo fino alla fusione.
• Stelle di neutroni “grinzose”: rotando emettono un segnale quasi monocromatico.
• Supernove e fenomeni asimmetrici: burst di breve durata.
• Fondo stocastico: somma di molte sorgenti deboli (astrofisiche o cosmologiche).

Potenza quadrupolare (emissione GW):

\[ P = \frac{G}{5c^5}\,\left\langle \dddot{Q}_{ij}\dddot{Q}_{ij} \right\rangle. \]

4) Il “chirp” in 3 formule chiave

Massa di chirp:

\[ \mathcal M_c = \frac{(m_1 m_2)^{3/5}}{(m_1+m_2)^{1/5}}. \]

Ampiezza dello strain per binaria circolare a distanza \(D\):

\[ h(f) \approx \frac{4\,(G\mathcal M_c)^{5/3}\,(\pi f)^{2/3}}{c^4\,D}. \]

Evoluzione della frequenza (relazione “chirp”):

\[ \dot f = \frac{96}{5}\,\pi^{8/3}\left(\frac{G\mathcal M_c}{c^3}\right)^{5/3} f^{11/3}. \]

Invertendo: \(\displaystyle \frac{G\mathcal M_c}{c^3} = \left[\frac{5}{96}\,\pi^{-8/3}\,f^{-11/3}\,\dot f\right]^{3/5}\).

Tempo alla coalescenza da una data frequenza:

\[ t_c - t = \frac{5}{256}\left(\frac{G\mathcal M_c}{c^3}\right)^{-5/3}(\pi f)^{-8/3}. \]

5) Esempi svolti (con numeri “amici”)

Esempio A — Quanto si accorcia un braccio LIGO?

Prendi \( h = 1.6\times 10^{-21} \) e \( L = 4\,\text{km} \). Allora \( \Delta L = hL \approx 6.4\times 10^{-18}\,\text{m} \). Con \( \lambda = 1064\,\text{nm} \), lo sfasamento è \( \Delta\phi \approx \frac{4\pi}{\lambda}\Delta L \sim 8\times 10^{-11}\,\text{rad} \).

Esempio B — Ampiezza attesa

Binaria di stelle di neutroni: \( \mathcal M_c \approx 1.22\,M_\odot \), \( f=100\,\text{Hz} \), \( D=40\,\text{Mpc} \) \(\Rightarrow\) \( h \sim 9\times 10^{-23} \).
Binaria di buchi neri pesanti: \( \mathcal M_c \approx 28\,M_\odot \), \( f=100\,\text{Hz} \), \( D=400\,\text{Mpc} \) \(\Rightarrow\) \( h \sim 1.7\times 10^{-21} \).

Esempio C — Quanto manca alla fusione?

Per due stelle di neutroni con \( \mathcal M_c=1.22\,M_\odot \): a \( f=30\,\text{Hz} \) mancano circa \( 53\,\text{s} \); a \( 50\,\text{Hz} \) ~ \( 14\,\text{s} \); a \( 100\,\text{Hz} \) ~ \( 2.2\,\text{s} \).

Esempio D — Risalire alla massa di chirp (metodo “chirpometro”)

Dalla relazione di chirp:

\[ \frac{G\mathcal M_c}{c^3} = \left[\frac{5}{96}\pi^{-8/3} f^{-11/3}\dot f\right]^{3/5}. \]

Se osservi un segnale quasi circolare con \( f=100\,\text{Hz} \) e \( \dot f = 1\,\text{Hz s}^{-1} \), trovi \( \mathcal M_c \approx 1.9\,M_\odot \) (tipico di due stelle di neutroni). Vicino alla fusione di due buchi neri pesanti, \( \dot f \) può salire a centinaia o migliaia di Hz/s, compatibile con \( \mathcal M_c \sim 20\text{–}30\,M_\odot \).

6) Storia lampo (con protagonisti)

• 1916–1918 — Einstein prevede le onde gravitazionali; dibattiti sulla loro “realtà fisica”.
• 1957 — Argomento “sticky-bead” (Feynman/Bondi): le onde trasportano energia davvero.
• Anni ’60 — Rivelatori a barra (Weber): nessuna conferma robusta.
• 1974 — Pulsar binaria Hulse–Taylor: prova indiretta della perdita di energia per GWs (premio Nobel 1993).
• 1970–2015 — Idee e tecnologia per gli interferometri lunghi (Weiss, Drever, Thorne). 2015: LIGO osserva GW150914, fusione di due buchi neri \(\Rightarrow\) Nobel 2017.
• 2017 — GW170817: due stelle di neutroni viste insieme in onde gravitazionali e luce (multi-messaggero), con lampo gamma e kilonova.

7) Perché ci importa (oltre al “wow”)?

• Astrofisica estrema: misuri masse/spin di buchi neri, struttura delle stelle di neutroni.
• Test di Relatività Generale: forma d’onda, velocità della gravità, polarizzazioni.
• Cosmologia: “sirene standard” per stimare l’espansione (Hubble), senza candele.
• Nuove finestre: dove la luce non arriva (sistemi oscuri, polveri, orizzonti degli eventi).

8) Esercizi (con soluzioni spiegate)

Q1 — Strain e micromovimenti

Domanda: L’interferometro ha bracci \( L=3\,\text{km} \). Se passa un’onda con \( h=8\times 10^{-22} \), quanto vale \( \Delta L \)? Qual è \( \Delta\phi \) per \( \lambda=1064\,\text{nm} \)?

Soluzione: \( \Delta L = hL = 2.4\times 10^{-18}\,\text{m} \). \( \Delta\phi = \frac{4\pi}{\lambda}\Delta L \approx \frac{4\pi}{1.064\times 10^{-6}}\times 2.4\times 10^{-18} \approx 2.8\times 10^{-11}\,\text{rad}. \)

Q2 — Tempo alla fusione

Domanda: Per \( \mathcal M_c=1.22\,M_\odot \), quanto manca alla fusione se ora il segnale è a \( f=50\,\text{Hz} \)?

Soluzione: usa \( t_c - t = \frac{5}{256}\left(\frac{G\mathcal M_c}{c^3}\right)^{-5/3}(\pi f)^{-8/3} \). Inserendo i numeri, \( t_c-t \approx 14\,\text{s} \) (ordine di grandezza).

Q3 — Stima della massa di chirp

Domanda: Un chirp ha \( f=100\,\text{Hz} \) e \( \dot f = 1.0\,\text{Hz s}^{-1} \). Che \( \mathcal M_c \) ottieni?

Soluzione: \( \frac{G\mathcal M_c}{c^3} = \left[\frac{5}{96}\pi^{-8/3} f^{-11/3}\dot f\right]^{3/5} \Rightarrow \mathcal M_c \approx 1.9\,M_\odot \). Tipico di una binaria di stelle di neutroni.

Q4 — Distanza dalla sola ampiezza (sirena standard, semplificata)

Domanda: Per un segnale con \( \mathcal M_c=28\,M_\odot \) e frequenza \( f=100\,\text{Hz} \), misuri \( h \approx 1.7\times 10^{-21} \). Quanto dista (stima grossolana)?

Soluzione: Inverti \( h(f) \approx \frac{4\,(G\mathcal M_c)^{5/3}(\pi f)^{2/3}}{c^4 D} \Rightarrow D \approx \frac{4\,(G\mathcal M_c)^{5/3}(\pi f)^{2/3}}{c^4 h} \). Inserendo i numeri ottieni \( D \sim 400\,\text{Mpc} \) (ordine di grandezza).

9) Glossario minimo

• Strain \(h\): frazione di allungamento/accorciamento misurata dall’interferometro.
• Massa di chirp \(\mathcal M_c\): combinazione di \(m_1,m_2\) che governa ampiezza e crescita di frequenza del segnale.
• Polarizzazioni \(+\) e \(\times\): i due “modi” con cui l’onda deforma lo spazio.
• Kilonova: esplosione ottico-IR seguita alla fusione di due stelle di neutroni (sintesi di elementi pesanti).

Messaggio finale: le onde gravitazionali sono la colonna sonora dell’Universo estremo. Con esse vediamo (e ascoltiamo) dove la luce tace, testiamo la gravità di Einstein e misuriamo il cosmo con strumenti che spostano la luce di un miliardesimo di miliardesimo di metro.

Fonti e letture consigliate

1. Osservazione di GW150914 (LIGO, 2016), Physical Review Letters.
2. Che cos’è un’onda gravitazionale? Introduzioni divulgative e tecniche, LIGO Lab.
3. Virgo interferometer (Cascina, 3 km): descrizione e progetto, virgo-gw.eu.
4. Einstein (1916/1918): articoli originali sulle onde gravitazionali (traduzioni su arXiv), arXiv.
5. Hulse & Taylor (1975): perdita di energia in pulsar binaria PSR 1913+16, ApJ Letters.
6. GW170817 (2017): fusione di stelle di neutroni e multi-messaggero, PRL e LIGO/Virgo overview.
7. Strain \(h=\Delta L/L\) e sensibilità, schede tecniche LIGO, LIGO DCC.