CORSO SULLA RELATIVITÀ: 5 Buco Nero e Curvatura Spazio-Temporale
5. Buco Nero e Curvatura Spazio-Temporale
I buchi neri rappresentano alcune delle soluzioni più estreme e affascinanti della relatività generale di Einstein. Essi sono regioni dello spazio-tempo in cui la gravità è così intensa che nemmeno la luce può sfuggire alla loro attrazione, rendendo queste regioni invisibili ai nostri occhi.
1. Concetti fondamentali
1.1 Orizzonte degli Eventi
L'orizzonte degli eventi è la superficie sferica che delimita il "punto di non ritorno" di un buco nero. Al di là di questa soglia, ogni traiettoria nel futuro punta inevitabilmente verso la singolarità centrale. Nulla, neanche la luce, può oltrepassarlo in senso opposto.
1.2 Singolarità
Al centro del buco nero si trova la singolarità, un punto (o regione) in cui le quantità fisiche come la densità e la curvatura dello spazio-tempo tendono a infinito. La fisica classica cessa di essere applicabile, e si ipotizza che una teoria quantistica della gravità debba descriverne la natura.
---2. Le soluzioni delle equazioni di campo di Einstein per i buchi neri
La relatività generale descrive la gravità come la curvatura dello spazio-tempo causata dalla presenza di massa e energia. I buchi neri sono soluzioni particolari delle equazioni di campo di Einstein.
2.1 La metrica di Schwarzschild
Per un buco nero non rotante e non carico elettricamente, la metrica che descrive lo spazio-tempo attorno ad esso è la metrica di Schwarzschild:
\[ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2 \theta \, d\phi^2\right), \] dove:- \(G\) = costante gravitazionale universale
- \(M\) = massa del buco nero
- \(c\) = velocità della luce
- \(t\) = tempo proprio di un osservatore distante
- \(r, \theta, \phi\) = coordinate sferiche standard
Il raggio di Schwarzschild è dato da:
\[ r_s = \frac{2GM}{c^2}. \]Questa lunghezza definisce l'orizzonte degli eventi.
Interpretazione fisica:
- Per \(r > r_s\), la metrica è ben definita e descrive lo spazio-tempo esterno.
- Per \(r = r_s\), si ha l'orizzonte degli eventi.
- Per \(r < r_s\), la coordinata \(r\) assume un ruolo temporale e la singolarità si trova in \(r=0\).
2.2 La metrica di Kerr
Per un buco nero rotante, la soluzione di Schwarzschild non è più sufficiente. La metrica di Kerr descrive lo spazio-tempo attorno a un buco nero con momento angolare:
\[ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GMr}{\rho^2 c^2}\right)c^2 dt^2 - \frac{4GMar \sin^2 \theta}{\rho^2 c^2} c dt d\phi + \frac{\rho^2}{\Delta} dr^2 + \rho^2 d\theta^2 + \left(r^2 + a^2 + \frac{2GMa^2 r \sin^2 \theta}{\rho^2 c^2}\right) \sin^2 \theta d\phi^2, \] dove: \[ \rho^2 = r^2 + a^2 \cos^2 \theta, \quad \Delta = r^2 - \frac{2GMr}{c^2} + a^2, \] e \[ a = \frac{J}{M c} \] è il parametro di spin, con \(J\) momento angolare del buco nero. ---3. Proprietà peculiari dei buchi neri rotanti
3.1 Ergosfera
L'ergosfera è una regione esterna all'orizzonte degli eventi, dove la rotazione trascina lo spazio-tempo al punto che nessun oggetto può rimanere fermo rispetto a un osservatore distante. La sua forma è oblunga e dipende dalla rotazione.
3.2 Singolarità ad anello
Nel caso rotante, la singolarità non è puntiforme ma ha la forma di un anello. Questo comporta caratteristiche molto diverse rispetto al buco nero statico.
---4. Curvatura dello spazio-tempo e buchi neri: formule chiave
4.1 Equazioni di campo di Einstein
\[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, \] dove:- \(R_{\mu\nu}\) = tensore di Ricci (curvatura)
- \(R\) = scalare di curvatura
- \(g_{\mu\nu}\) = metrica dello spazio-tempo
- \(\Lambda\) = costante cosmologica
- \(T_{\mu\nu}\) = tensore energia-impulso
Per il vuoto esterno a un buco nero (assumendo \(\Lambda=0\) e \(T_{\mu\nu}=0\)) si ha:
\[ R_{\mu\nu} = 0, \] che è la base per le soluzioni di Schwarzschild e Kerr. ---4.2 Calcolo della curvatura scalare (esempio per Schwarzschild)
Il raggio di curvatura di Kretschmann permette di quantificare la curvatura dello spazio-tempo:
\[ K = R_{\alpha\beta\gamma\delta} R^{\alpha\beta\gamma\delta}. \]Per la metrica di Schwarzschild si ha:
\[ K = \frac{48 G^2 M^2}{c^4 r^6}. \]Questo valore tende a infinito per \(r \to 0\) (singolarità) e decresce rapidamente allontanandosi dal centro.
---5. Esercizi svolti
Esercizio 1: Determinare l’orizzonte degli eventi per un buco nero con massa pari a 10 masse solari
Calcolare il raggio di Schwarzschild \(r_s\) per un buco nero di massa:
\[ M = 10 \times M_\odot = 10 \times 1.989 \times 10^{30} \, \mathrm{kg}. \]Calcolo:
\[ r_s = \frac{2GM}{c^2} = \frac{2 \times 6.6743 \times 10^{-11} \times 1.989 \times 10^{31}}{(3 \times 10^8)^2} \approx 29.5 \, \mathrm{km}. \] ---Esercizio 2: Verifica della riduzione della metrica di Kerr a Schwarzschild
Mostrare che per \(a=0\), la metrica di Kerr coincide con la metrica di Schwarzschild.
Soluzione: Inserendo \(a=0\) nella metrica di Kerr si semplificano i termini:
\[ \rho^2 = r^2, \quad \Delta = r^2 - \frac{2GMr}{c^2}, \] e la metrica si riduce esattamente a quella di Schwarzschild già vista. ---6. Approfondimento: effetto della gravità estrema sulla luce
La presenza di un buco nero altera la traiettoria della luce, fenomeno noto come lente gravitazionale. La luce può essere deviata, catturata o perfino orbitare attorno al buco nero in orbite chiamate fotoni.
La freccia rossa nella figura (da integrare in un post futuro) indica la traiettoria curva della luce.
---
Commenti
Posta un commento