CORSO SULLA RELATIVITÀ: Lezione 4 Cosmologia Relativistica

Cosmologia Relativistica: introduzione

La cosmologia relativistica è la branca della fisica che studia l'universo nel suo complesso utilizzando i principi della relatività generale di Einstein. Essa offre un quadro teorico per comprendere l'evoluzione, la struttura e la dinamica dell'universo, dalla sua nascita fino ai suoi possibili futuri scenari.

Modello dell'Universo

Un pilastro della cosmologia è il Principio Cosmologico, che afferma che l'universo, osservato su scala molto ampia, è omogeneo (uguale in ogni punto) e isotropo (uguale in ogni direzione). Questa semplicità apparente permette di utilizzare modelli matematici efficaci.

Metrica di Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW)

La geometria dello spazio-tempo dell'universo in espansione si descrive tramite la metrica FLRW:

ds² = -c² dt² + a(t)² [ dr²/(1 - k r²) + r² (dθ² + sin²θ dφ²) ]

dove:

• c è la velocità della luce,
• t è il tempo cosmico,
• a(t) è il fattore di scala, che descrive come l'universo si espande nel tempo,
• k definisce la curvatura dello spazio (positiva, nulla o negativa).

Questa metrica permette di studiare l'evoluzione dell'universo nel tempo e spazialmente.

Big Bang e Espansione dell'Universo

Secondo il modello del Big Bang, l'universo ha avuto origine circa 13,8 miliardi di anni fa da uno stato di estrema densità e temperatura. Da allora, si è espanso e raffreddato, permettendo la formazione di materia, stelle e galassie.

Equazioni di Friedmann

L'evoluzione del fattore di scala a(t) è descritta dalle equazioni di Friedmann:

(H)^2 = ( (ȧ)/a )² = (8πG/3)ρ - (kc²)/a² + Λ/3

dove:

• H è la costante di Hubble (velocità di espansione),
• ȧ è la derivata temporale di a(t),
• G è la costante di gravitazione universale,
• ρ la densità media di materia ed energia,
• Λ è la costante cosmologica, legata all'energia oscura.

Osservazioni chiave

La prova dell'espansione viene dallo spostamento verso il rosso (redshift) delle galassie, che indica che si allontanano da noi. Inoltre, la radiazione cosmica di fondo (CMB) è un'eco del Big Bang, una radiazione uniforme che riempie l'universo e fornisce informazioni sul suo stato primordiale.

Esercizi e Quiz sulla Cosmologia Relativistica

Esercizio 1: Calcolo della costante di Hubble

Se l'universo si espande con una velocità di 70 km/s per megaparsec (Mpc), qual è la costante di Hubble in unità SI (s⁻¹)?

Svolgimento: 1 Mpc = 3.086 × 10²² m.

H = 70 km/s/Mpc = 70,000 m/s / 3.086 × 10²² m ≈ 2.27 × 10⁻¹⁸ s⁻¹

Quindi, la costante di Hubble è circa 2.27 × 10⁻¹⁸ s⁻¹.

Quiz

1. Che cosa descrive il fattore di scala a(t) nell’universo?
   A) La massa dell’universo
   B) L’espansione dell’universo nel tempo
   C) La temperatura dell’universo
   Risposta corretta: B
   Spiegazione: Il fattore di scala indica quanto lo spazio si espande o si contrae nel tempo.


2. Qual è la funzione della costante cosmologica Λ?
   A) Descrive l’energia oscura che accelera l’espansione
   B) È la gravità
   C) È la densità della materia oscura
   Risposta corretta: A
   Spiegazione: La costante cosmologica rappresenta l’energia oscura responsabile dell’accelerazione dell’espansione.


3. Che cos’è il redshift cosmologico?
   A) Lo spostamento verso il blu delle galassie
   B) Lo spostamento verso il rosso delle galassie che si allontanano
   C) L’effetto Doppler del suono
   Risposta corretta: B
   Spiegazione: Le galassie che si allontanano mostrano uno spostamento verso lunghezze d’onda maggiori, cioè verso il rosso.