CORSO SULLA RELATIVITÀ: 3 Applicazioni della Relatività

3 Applicazioni della Relatività

La teoria della relatività di Einstein non è solo una formula su carta, ma una realtà che si manifesta quotidianamente e ha trasformato radicalmente la nostra comprensione dell'universo. Le sue predizioni, spesso controintuitive, sono state confermate da numerosi esperimenti e applicazioni pratiche.

Dilatazione Temporale

Uno degli effetti più sorprendenti è la dilatazione temporale: il tempo non scorre allo stesso modo per tutti. Per un osservatore in movimento rispetto ad un altro, il tempo sembra scorrere più lentamente.

La relazione fondamentale è data dalla formula:

\( \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)

dove:

• \( \Delta t_0 \) è l'intervallo di tempo misurato dal sistema in quiete (proprio tempo);
• \( \Delta t \) è l'intervallo misurato dall'osservatore in moto relativo;
• \( v \) è la velocità relativa;
• \( c \) è la velocità della luce nel vuoto.

Questo effetto è stato confermato con orologi atomici di precisione, che sono stati portati in volo su aerei e satelliti, mostrando differenze temporali rispetto a quelli rimasti sulla Terra.

Contrazione delle Lunghezze

La contrazione delle lunghezze è un altro effetto sorprendente: un oggetto in movimento rispetto ad un osservatore appare più corto nella direzione del moto. Anche se difficile da osservare direttamente, è una conseguenza necessaria della teoria.

La formula per la contrazione è:

\( L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \)

dove:

• \( L_0 \) è la lunghezza dell'oggetto a riposo;
• \( L \) è la lunghezza misurata dall'osservatore in moto relativo.

Esperimenti Confermativi

• Esperimento di Hafele-Keating (1971): orologi atomici viaggiarono su aerei in alta velocità intorno al globo terrestre. Al ritorno, il confronto con orologi stazionari confermò la dilatazione temporale prevista dalla relatività.
• Esperimento di Eddington (1919): durante un'eclissi solare, la deviazione della luce delle stelle vicino al sole fu osservata e misurata, confermando la curvatura dello spazio-tempo prevista dalla relatività generale.
• Esperimenti LHC: nel Large Hadron Collider, le particelle accelerate a velocità prossime a quella della luce mostrano un aumento della massa e dilatazione temporale, confermando le predizioni relativistiche.
• Sincrotroni: acceleratori di particelle usati per scopi scientifici che confermano sperimentalmente gli effetti relativistici come la dilatazione temporale.

Esercizio Svolto

Problema: Calcolare il tempo misurato da un orologio che viaggia a 0.8c per un intervallo proprio di 10 secondi.

Soluzione:

Applicando la formula della dilatazione temporale:

\( \Delta t = \frac{10 \text{ s}}{\sqrt{1 - (0.8)^2}} = \frac{10}{\sqrt{1 - 0.64}} = \frac{10}{\sqrt{0.36}} = \frac{10}{0.6} = 16.67 \text{ s} \)

Quindi, un osservatore a riposo misurerà un tempo più lungo, 16.67 secondi, rispetto all’orologio in movimento.

Test Rapido

1. Che cosa indica la dilatazione temporale? Risposta: Il tempo scorre più lentamente per un osservatore in movimento rispetto a uno a riposo.
2. Qual è la formula della contrazione delle lunghezze? Risposta: \( L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \)
3. Quale esperimento ha confermato la deviazione della luce vicino al Sole? Risposta: L’esperimento di Eddington nel 1919.
4. Perché gli orologi atomici su aerei mostrano differenze temporali? Risposta: A causa della dilatazione temporale prevista dalla relatività speciale.

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Ulteriori Formule e Approfondimenti

Energia relativistica

Un risultato fondamentale della relatività è la relazione tra energia, massa e quantità di moto:

\( E^2 = (m c^2)^2 + (p c)^2 \)

dove:

• \( E \) è l'energia totale del corpo;
• \( m \) è la massa a riposo;
• \( p \) è la quantità di moto relativistica;
• \( c \) è la velocità della luce.

Nel caso di particelle a riposo (\(p=0\)), questa formula riduce alla celebre equazione:

\( E = m c^2 \)

Relazione tra quantità di moto e velocità

La quantità di moto relativistica è data da:

\( p = \gamma m v, \quad \text{dove} \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)

Qui \( \gamma \) è il fattore di Lorentz, che cresce all’aumentare della velocità \( v \), tendendo a infinito quando \( v \to c \).

Esercizi Svolti

Esercizio 3 — Energia totale di una particella

Problema: Calcolare l’energia totale di una particella con massa a riposo \( m = 9.11 \times 10^{-31} \, \text{kg} \) (elettrone) che si muove con velocità \( v = 0.9 c \).

Soluzione:

Calcoliamo il fattore di Lorentz:

\( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.9^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.81}} = \frac{1}{\sqrt{0.19}} \approx 2.294. \)

L’energia totale è quindi:

\( E = \gamma m c^2 = 2.294 \times (9.11 \times 10^{-31} \text{kg}) \times (3 \times 10^8 \, \text{m/s})^2 \approx 1.88 \times 10^{-13} \, \text{J}. \)

Esercizio 4 — Calcolo della quantità di moto

Problema: Calcolare la quantità di moto della particella dell’esercizio precedente.

Soluzione:

\( p = \gamma m v = 2.294 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 0.9 \times 3 \times 10^8 \approx 5.64 \times 10^{-22} \, \text{kg·m/s}. \)

Esercizio 5 — Durata di un muone in volo

Problema: Un muone ha una vita media a riposo di \( 2.2 \times 10^{-6} \, \text{s} \). Se si muove a \( 0.998 c \), quanto dura la sua vita media misurata da un osservatore a riposo?

Soluzione:

Calcoliamo il fattore di Lorentz:

\( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0.998)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.996}} = \frac{1}{\sqrt{0.004}} = 15.8. \)

La durata media misurata è:

\( \Delta t = \gamma \Delta t_0 = 15.8 \times 2.2 \times 10^{-6} = 3.48 \times 10^{-5} \, \text{s}. \)

Quindi, il muone “vive” molto più a lungo rispetto a quanto misurato nel suo sistema di riferimento.

Test Rapido Integrativo

1. Come si calcola il fattore di Lorentz? Risposta: \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)
2. Qual è la formula per l’energia totale di una particella in movimento? Risposta: \( E = \gamma m c^2 \)
3. Che cosa significa che la quantità di moto cresce con la velocità? Risposta: A velocità vicine a quella della luce, la quantità di moto aumenta molto più rapidamente rispetto alla velocità stessa.
4. Come cambia la durata media di una particella in movimento secondo la relatività? Risposta: Aumenta di un fattore \( \gamma \) rispetto alla durata a riposo.

Approfondimenti Aggiuntivi

Trasformazioni di Lorentz

Le trasformazioni di Lorentz descrivono come le coordinate spazio-temporali cambiano tra due sistemi di riferimento in moto relativo con velocità costante:

\( \begin{cases} x' = \gamma (x - v t) \\ t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^2}\right) \end{cases} \)

Queste trasformazioni garantiscono che la velocità della luce sia invariata in tutti i sistemi inerziali.

Momento-Energia Relativistico

Il quadrivettore energia-impulso è definito come:

\( P^\mu = \left(\frac{E}{c}, \mathbf{p}\right) \)

La sua norma è un invariante relativistico:

\( P^\mu P_\mu = \left(\frac{E}{c}\right)^2 - \mathbf{p}^2 = (m c)^2. \)

Esercizi Svolti

Esercizio 6 — Verifica delle trasformazioni di Lorentz

Problema: Un evento ha coordinate \( (x, t) = (3 \times 10^8 \text{ m}, 2 \text{ s}) \) in un sistema di riferimento. Calcolare \( x' \) e \( t' \) in un sistema che si muove con velocità \( v = 0.6 c \) rispetto al primo.

Soluzione:

Calcoliamo il fattore di Lorentz:

\( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.6^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.36}} = \frac{1}{0.8} = 1.25. \)

Calcoliamo le coordinate trasformate:

\( x' = 1.25 (3 \times 10^8 - 0.6 \times 3 \times 10^8 \times 2) = 1.25 (3 \times 10^8 - 3.6 \times 10^8) = 1.25 (-0.6 \times 10^8) = -7.5 \times 10^7 \text{ m}, \)

\( t' = 1.25 \left(2 - \frac{0.6 \times 3 \times 10^8}{(3 \times 10^8)^2} \times 3 \times 10^8 \right) = 1.25 (2 - 0.6) = 1.25 \times 1.4 = 1.75 \text{ s}. \)

Esercizio 7 — Invarianza della norma quadrivettore

Problema: Dimostrare che \( P^\mu P_\mu = (m c)^2 \) è invariato sotto trasformazioni di Lorentz.

Soluzione: (Concetto e breve spiegazione narrativa): la trasformazione di Lorentz è una rotazione nello spazio-tempo che conserva la “lunghezza” del quadrivettore. Quindi la quantità \( \left(\frac{E}{c}\right)^2 - \mathbf{p}^2 \) rimane la stessa in tutti i sistemi inerziali ed è uguale a \( (m c)^2 \), che è un valore fisso legato alla massa a riposo.

Esercizio 8 — Velocità relativa composta

Problema: Se un oggetto si muove a velocità \( u' = 0.7 c \) rispetto a un sistema che a sua volta si muove a \( v = 0.8 c \) rispetto a un osservatore fermo, qual è la velocità \( u \) dell'oggetto rispetto all’osservatore fermo?

Soluzione:

Si usa la formula della composizione delle velocità relativistiche:

\( u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u' v}{c^2}} = \frac{0.7 c + 0.8 c}{1 + 0.7 \times 0.8} = \frac{1.5 c}{1 + 0.56} = \frac{1.5 c}{1.56} \approx 0.96 c. \)

Test Rapido Integrativo

1. Qual è la formula della trasformazione del tempo secondo Lorentz? Risposta: \( t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^2}\right) \)
2. Cosa rappresenta il quadrivettore energia-impulso? Risposta: Un vettore a quattro dimensioni che unisce energia e quantità di moto, invariante sotto trasformazioni di Lorentz.
3. Qual è la formula per la composizione delle velocità relativistiche? Risposta: \( u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u' v}{c^2}} \)

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