CORSO SULLA RELATIVITÀ: 2 Relatività Generale
2. Relatività Generale: la nuova visione della gravità
Immagina di poter ripensare la gravità non come una semplice forza che attira gli oggetti, ma come una deformazione dello spazio e del tempo stessi. Questo è ciò che Albert Einstein ha fatto nel 1915 con la sua teoria della relatività generale, una rivoluzione che ha trasformato radicalmente la nostra comprensione dell’universo.
Immagina di poter ripensare la gravità non come una semplice forza che attira gli oggetti, ma come una deformazione dello spazio e del tempo stessi. Questo è ciò che Albert Einstein ha fatto nel 1915 con la sua teoria della relatività generale, una rivoluzione che ha trasformato radicalmente la nostra comprensione dell’universo.
La gravità come curvatura dello spazio-tempo
Prima di Einstein, la gravità era vista come una forza che agisce a distanza, secondo la legge di Newton. Ma la relatività generale ci insegna qualcosa di molto più profondo:
- Principio di equivalenza: immagina di essere in un ascensore chiuso. Se l’ascensore cade liberamente, dentro non senti peso. Se invece è a riposo su un pianeta, sì. Localmente, gli effetti sono indistinguibili: è il cuore della teoria.
- Curvatura dello spazio-tempo: la massa-energia “dice” allo spazio-tempo come curvarsi, e lo spazio-tempo “dice” alla materia e alla luce come muoversi lungo geodetiche.
Prima di Einstein, la gravità era vista come una forza che agisce a distanza, secondo la legge di Newton. Ma la relatività generale ci insegna qualcosa di molto più profondo:
- Principio di equivalenza: immagina di essere in un ascensore chiuso. Se l’ascensore cade liberamente, dentro non senti peso. Se invece è a riposo su un pianeta, sì. Localmente, gli effetti sono indistinguibili: è il cuore della teoria.
- Curvatura dello spazio-tempo: la massa-energia “dice” allo spazio-tempo come curvarsi, e lo spazio-tempo “dice” alla materia e alla luce come muoversi lungo geodetiche.
Le equazioni di campo di Einstein
Le equazioni collegano il contenuto materia/energia (tensore energia-impulso) alla geometria (curvatura). Ecco la forma compatta con costante cosmologica:
Dove R_{\mu\nu} è il tensore di Ricci, R lo scalare di curvatura, g_{\mu\nu} la metrica, T_{\mu\nu} il tensore energia-impulso, G la costante di gravitazione e c la velocità della luce.
Le equazioni collegano il contenuto materia/energia (tensore energia-impulso) alla geometria (curvatura). Ecco la forma compatta con costante cosmologica:
Dove R_{\mu\nu} è il tensore di Ricci, R lo scalare di curvatura, g_{\mu\nu} la metrica, T_{\mu\nu} il tensore energia-impulso, G la costante di gravitazione e c la velocità della luce.
Soluzione sferica: metrica di Schwarzschild
Per una massa sferica e non rotante, la soluzione esterna è la metrica di Schwarzschild:
Questa metrica descrive come si misurano tempi e distanze vicino a stelle e pianeti e introduce naturalmente l’orizzonte degli eventi nei buchi neri.
Per una massa sferica e non rotante, la soluzione esterna è la metrica di Schwarzschild:
Questa metrica descrive come si misurano tempi e distanze vicino a stelle e pianeti e introduce naturalmente l’orizzonte degli eventi nei buchi neri.
Esempio numerico 1: Deflessione della luce al bordo del Sole
La luce che sfiora il Sole viene deviata di un piccolo angolo predetto da Einstein (confermato da Eddington nel 1919). Valore atteso:
Il valore (in arcosecondi) è ottenuto usando b \approx R_{\mathrm{Sole}}, cioè il raggio solare come distanza di minimo approccio.
La luce che sfiora il Sole viene deviata di un piccolo angolo predetto da Einstein (confermato da Eddington nel 1919). Valore atteso:
Il valore (in arcosecondi) è ottenuto usando b \approx R_{\mathrm{Sole}}, cioè il raggio solare come distanza di minimo approccio.
Esempio numerico 2: Dilatazione del tempo (GR) – satelliti GPS vs superficie terrestre
Gli orologi a bordo dei satelliti GPS scorrono più rapidamente degli orologi sulla Terra a causa del potenziale gravitazionale più debole in orbita. L’effetto relativistico generale (senza la correzione speciale di velocità) è circa:
In pratica, si aggiunge anche la relatività ristretta (che rallenta l’orologio in moto), dando un bilancio netto di ~38 μs/giorno che i sistemi GPS correggono automaticamente.
Gli orologi a bordo dei satelliti GPS scorrono più rapidamente degli orologi sulla Terra a causa del potenziale gravitazionale più debole in orbita. L’effetto relativistico generale (senza la correzione speciale di velocità) è circa:
In pratica, si aggiunge anche la relatività ristretta (che rallenta l’orologio in moto), dando un bilancio netto di ~38 μs/giorno che i sistemi GPS correggono automaticamente.
Esempio numerico 3: Raggio di Schwarzschild
Il raggio di Schwarzschild caratterizza l’orizzonte degli eventi di un buco nero equivalente alla massa M:
Per il Sole il raggio è dell’ordine di decine di chilometri; per la Terra, pochi centimetri: numeri che mostrano quanto la compressione richiesta per formare un buco nero sia estrema.
Il raggio di Schwarzschild caratterizza l’orizzonte degli eventi di un buco nero equivalente alla massa M:
Per il Sole il raggio è dell’ordine di decine di chilometri; per la Terra, pochi centimetri: numeri che mostrano quanto la compressione richiesta per formare un buco nero sia estrema.
Verifica rapida
- Perché la luce si curva in un campo gravitazionale?
Perché segue le geodetiche della metrica curva generata dalla massa-energia. - Qual è la formula approssimata della deflessione per un raggio che sfiora una massa M?
α ≈ 4GM/(c2b). - Qual è la relazione per il raggio di Schwarzschild?
rs = 2GM/c2.
- Perché la luce si curva in un campo gravitazionale?
Perché segue le geodetiche della metrica curva generata dalla massa-energia. - Qual è la formula approssimata della deflessione per un raggio che sfiora una massa M?
α ≈ 4GM/(c2b). - Qual è la relazione per il raggio di Schwarzschild?
rs = 2GM/c2.
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