CORSO DI MECCANICA QUANTISTICA: 4 Fondamenti della Meccanica Quantistica

ottobre 21, 2025

🔭 Meccanica ondulatoria: sviluppo e applicazioni

La meccanica ondulatoria è quella parte della meccanica quantistica che prende sul serio un’idea sorprendente: le particelle microscopiche – elettroni, neutroni, perfino gli atomi – non si comportano soltanto come minuscole palline solide, ma in certe condizioni assumono caratteristiche proprie delle onde.

Questa intuizione nacque da esperimenti che rivelavano comportamenti inspiegabili in termini puramente classici, come l’interferenza della luce, la diffrazione o l’effetto fotoelettrico. A poco a poco si fece strada un concetto rivoluzionario: ogni particella è associata a una sorta di “onda”, la cui funzione descrive le probabilità e le interferenze possibili.

1) Onde e particelle: l’esperimento chiave

L’esperimento della doppia fenditura mostra che anche le particelle, lanciate una alla volta, producono una figura di interferenza. Ciò significa che non si comportano solo come corpuscoli, ma anche come onde.

L’ampiezza totale di probabilità è data dalla somma delle ampiezze dei due percorsi:

$Ψ = Ψ1 + Ψ2$

E la probabilità osservabile è il modulo quadro della funzione d’onda:

$P(x) = |Ψ(x)|²$

2) L’idea di de Broglie: la materia ha un’onda

Louis de Broglie propose che a ogni particella fosse associata una lunghezza d’onda, detta “lunghezza d’onda di de Broglie”:

$λ = h/p$

dove h è la costante di Planck e p la quantità di moto.

3) Onde che trasportano probabilità

La funzione d’onda $Ψ(x,t)$ descrive l’ampiezza di probabilità. La densità di probabilità è:

$ρ(x,t) = |Ψ(x,t)|²$

4) Pacchetti d’onda e movimento

Una particella reale è descritta da un pacchetto d’onda, costruito come combinazione di onde piane:

$Ψ(x,t) = ∫ A(k) e^{i(kx-ωt)} dk$

5) L’equazione di Schrödinger

La legge fondamentale della meccanica ondulatoria è l’equazione di Schrödinger:

$iħ ∂Ψ/∂t = -(ħ²/2m)∇²Ψ + VΨ$

6) La quantizzazione: energia a gradini

In una “scatola quantica” (particella in buca infinita) i livelli energetici permessi sono:

$Eₙ = (n²π²ħ²)/(2mL²)$

7) Il principio di indeterminazione

Heisenberg dimostrò che esiste un limite fondamentale alla misura simultanea di posizione e quantità di moto:

$Δx · Δp ≥ ħ/2$

8) Oscillatori e vibrazioni quantiche

Per l’oscillatore armonico quantistico i livelli energetici sono discreti:

$Eₙ = ħω (n + 1/2)$

9) Il fenomeno del tunneling

La probabilità che una particella attraversi una barriera è data approssimativamente da:

$T ≈ e^{-2κa}$

dove $κ = sqrt(2m(V₀-E))/ħ$ .

10) L’atomo di idrogeno

Schrödinger calcolò i livelli energetici dell’idrogeno:

$Eₙ = -13.6 eV / n²$

11) La misura e il ruolo del caso

Il “collasso” della funzione d’onda è descritto matematicamente come la proiezione dello stato $|Ψ⟩$ su un autostato $|aᵢ⟩$ con probabilità:

$P(ai) = |⟨aᵢ|Ψ⟩|²$

12) Entanglement: legami invisibili

Uno stato entangled tipico è quello di due particelle di spin opposto:

$Ψ = (|↑⟩A |↓⟩B - |↓⟩A |↑⟩B)/√2$

13) Perché tutto questo conta

La meccanica ondulatoria non è solo una teoria astratta: spiega la stabilità della materia, il funzionamento dei semiconduttori, dei laser, della chimica moderna e delle tecnologie quantistiche emergenti.

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